Il Teorema di derivazione della funzione composta si può applicare iterativamente per ottenere la derivata di una composizione di più funzioni.
Ad esempio, per la composizione di tre funzioni derivabili f, g e h

x\stackrel{h}\longmapsto h(x)\stackrel{g}\longmapsto g(h(x)) \stackrel{f}\longmapsto f(g(h(x))),


indicata con f\circ g\circ h, vale la formula

[(f\circ g\circ h)]'(x)=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x).


Vediamo un esempio di come funziona questa regola.

Esempio

Calcoliamo la derivata di questa funzione

y=\ln(1+\cos(x^2)).


Mettiamo in evidenza gli ingredienti con la catena della composizione

x\stackrel{h}\longmapsto x^2\stackrel{g}\longmapsto 1+\cos(x^2) \stackrel{f}\longmapsto \ln(1+\cos(x^2))


Vediamo che la funzione più interna, h, porta x in x^2, la seconda funzione g è 1+\cos(\cdot), e infine la funzione esterna f calcola il logaritmo naturale del suo input.
La derivata quindi si ottiene moltiplicando tre derivate in questo modo:


  • la derivata di h in x:

    h'(x)=2x,


  • la derivata di g in h(x)=x^2:

    g'(h(x))=-\sin(h(x))=-\sin(x^2),



  • e infine la derivata di f calcolata in g(h(x))=1+\cos(x^2):

    f'(g(h(x)))=\frac{1}{g(h(x))}=\frac{1}{1+\cos(x^2)}.


Il risultato è quindi questo

y'=\frac{1}{1+\cos(x^2)}\cdot -\sin(x^2)\cdot 2x,


ovvero

y'=-\frac{2x\sin(x^2)}{1+\cos(x^2)}.