Derivata del logaritmo del modulo

Consideriamo la funzione $y=\ln|x|$. Come si calcola la sua derivata?

Iniziamo osservando che la funzione è definita per ogni valore reale $x\neq 0$.

Vediamo cosa succede separatamente sui due insiemi $(-\infty,0)$ e $(0,+\infty)$.

1. Per $x >0$. In questo caso, usando la definizione di modulo abbiamo $|x|=x$, e la funzione si scrive come:
   
   

   $y= \ln x,\qquad \text{$x\in (0,+\infty)$.}$
   
   

   La sua derivata è quindi già nota dalla tabella delle derivate, e vale $\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}.$
   
   

1. Per $x$. Quando $x$ è negativo, usando la definizione di modulo abbiamo $|x|=-x$.
   Dunque
   
   

   $y= \ln(-x),\qquad \text{ $x\in (-\infty,0)$,}$

   
   dove $-x$ è un numero positivo. Possiamo quindi leggere la funzione come composta
   
   

   $x\longmapsto -x\longmapsto \ln(-x),$

   
   e calcolare la sua derivata con la Chain rule:
   
   

   $\frac{d}{dx} \ln(-x) = \underbrace{\frac{1}{-x}}_{A} \cdot \underbrace{(-1)}_{B} = \frac{1}{x},$

   
   dove il termine $A$ è la derivata della funzione esterna (il logaritmo sulla semiretta $(0,+\infty)$) calcolata nella funzione interna $-x$, e il termine $B$ è la derivata della funzione interna, calcolata in $x$.

Derivata di $\ln|g(x)|$

Consideriamo la funzione $y=\ln|g(x)|$ dove $g$ è una funzione assegnata.

Usando il risultato appena ottenuto possiamo dimostrare che, se $g$ è derivabile, anche la funzione $y=\ln|g(x)|$ è derivabile, e la sua derivata è

$\boxed{ \frac{d}{dx} \ln|g(x)| = \frac{g'(x)}{g(x)} }$

Infatti, esplicitando la funzione come composta

$x\overset{g}\longmapsto g(x)\overset{\ln|\cdot|}{\longmapsto} \ln|g(x)|,$

$\frac{d}{dx} \ln|g(x)|= \underbrace{\frac{1}{g(x)}}_{A} \cdot \underbrace{g'(x)}_{B} = \frac{g'(x)}{g(x)},$