Derivata dell'inversa

Esempio

Consideriamo la funzione

$f(x)=3x+2e^x.$

$f$ è definita e derivabile su tutto $\mathbb{R}$, ed è strettamente crescente (perché somma di due funzioni strettamente crescenti).
Dunque ha una funzione inversa, che indichiamo col solito simbolo $f^{-1}$, anch’essa definita su tutto $\mathbb{R}$.
Supponiamo di voler conoscere il valore della derivata di $f^{-1}$ in $x=2$. La formula per la derivata dell’inversa è questa:

$[f^{-1}]'(2)=\frac{1}{f'(a)},$

dove $a$ è l’unico valore che soddisfa 

$a=f^{-1}(2)\quad\text{o equivalentemente}\quad f(a)=2.$

Si osserva facilmente che $f(0)=2$, dunque deduciamo che $a=0$. Quindi avremo

$(*)\qquad[f^{-1}]'(2)=\frac{1}{f'(0)}.$

Ci serve ora la derivata di $f$, calcolata in 0: usando la proprietà di linearità della derivata si ha

$f'(x)=3\frac{d}{dx}x+2\frac{d}{dx}e^x=3+2e^x,$

così per $x=0$ troviamo

$f'(0)=3+2e^0=3+2=5.$

Basta ora sostituire nella formula $(*)$ per ottenere il risultato:

$\qquad[f^{-1}]'(2)=\frac{1}{5}.$