La funzione modulo (o valore assoluto) di x è definita come:

y=|x|, \qquad \text{ dove }\qquad |x| = \begin{cases} x, & \text{se } x \geq 0, \\ -x, & \text{se } x < 0. \end{cases}


Per calcolare la derivata, consideriamo due casi separatamente:


  1. Per x > 0:

    \frac{d}{dx} |x| = \frac{d}{dx} x = 1.


  2. Per x < 0:

    \frac{d}{dx} |x| = \frac{d}{dx} (-x) = -1.

Conclusione

La derivata della funzione |x| per x\neq 0 è

\boxed{ \frac{d}{dx} |x| = \begin{cases} 1, & \text{se } x > 0, \\ -1, & \text{se } x < 0. \end{cases} }


È possibile scrivere il risultato con un’unica formula. Ad esempio, usando la funzione segno di x, che è definita proprio come quella funzione che vale 1 in ogni input positivo, e -1 per input negativo:

\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & \text{se } x > 0, \\ -1, & \text{se } x < 0. \end{cases}


Abbiamo così la formula compatta

\frac{d}{dx} |x| = \operatorname{sgn}(x), \quad \text{per } x \neq 0,


che si può anche scrivere in questo modo:

\frac{d}{dx} |x| = \frac{|x|}{x}, \quad \text{per } x \neq 0.


La funzione y=|x| è però definita anche in x=0. Come si studia la derivata in questo valore?


La funzione modulo di x non è derivabile in x=0

Per mostrarlo dobbiamo ricorrere alla definizione di derivata in 0. Indicata con f la funzione f(x)=|x| si ha per definizione che f è derivabile in 0 se il limite del rapporto incrementale di f in 0, ovvero

\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}


esiste ed è finito. Sostituendo i valori f(0+h)=f(h)=|h| e f(0)=0 troviamo

\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}.

Ora osserviamo che

\frac{|h|}{h}=\begin{cases} 1, & \mbox{se }h > 0 \\ -1, & \mbox{se } h < 0 \end{cases}


Dunque il limite fatto da destra per h\to 0 vale 1, mentre il limite da sinistra vale -1. Concludiamo che il limite del rapporto incrementale non esiste: questo significa che la funzione non è derivabile in x=0.

Osservazione

Ecco il grafico della funzione y= |x|: vediamo cosa succede dal punto di vista geometrico.

grafico della funzione


per x\geq 0 il grafico è quello della la retta y=x, mentre per x < 0 è la retta y=-x. In x = 0, il grafico presenta un punto angoloso: non è possibile definire una retta tangente al grafico nell’origine.