Derivabilità e continuità

Un fatto intuitivo ma estremamente importante alla base dell’Analisi Matematica è che le funzioni derivabili sono sempre continue:

Vediamo insieme la dimostrazione di questo risultato. Ricordiamo prima la definizione matematica di continuità: $f$ si dice continua in $x_0$ se

$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$

Dimostrazione.

Supponiamo $f$ derivabile in $x_0$. Per definizione, questo significa che il limite del rapporto incrementale esiste finito:

$\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}=f'(x_0).$

1. Dimostriamo che $\Delta f$ tende a 0.
   
   Ricordiamo la scrittura
   
   

   $\Delta f=f(x_0+h)-f(x_0).$

   
   Per mostrare che $\Delta f$ tende a 0 quando $h$ tende a 0 ragioniamo cosi: riscriviamo $\Delta f$ per $h\neq 0$ moltiplicando e dividendo per $h$:
   
   

   $\Delta f= h \cdot \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h},$

   
   dunque i due termini avranno lo stesso limite:
   
   

   $\displaystyle \lim_{h\to 0}\Delta f= \displaystyle \lim_{h\to 0} h \cdot \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.$

   
   Poiché il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti quando questi esistono finiti, il limite del secondo termine è
   
   

   $\displaystyle \lim_{h\to 0} h \cdot \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}= \displaystyle \lim_{h\to 0} h \cdot \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}=0\cdot f'(x_0),$

   
   Essendo $f'(x_0)$ finito, sia ha $0\cdot f'(x_0)=0$, quindi il limite è zero.
   
   Abbiamo cosi dimostrato che se $f$ è derivabile in $x_0$ allora
   $\displaystyle \lim_{h\to 0} \Delta f=0.$
   
   

   (1)

2. Riconosciamo la continuità.
   
   Scriviamo $f(x_0+h)$ sommando e sottraendo $f(x_0)$:
   
   

   $f(x_0+h)=f(x_0)+[f(x_0+h)-f(x_0)]=f(x_0)+\Delta f.$

   
   Ricordiamo ora che il limite di una somma è la somma dei limiti, quando questi esistono finiti: possiamo quindi passare al limite sfruttando la (1):
   
   

   $\displaystyle \lim_{h \to 0} f(x_0 + h) = \displaystyle \lim_{h\to 0} f(x_0) + \displaystyle \lim_{h \to 0} \Delta f=f(x_0)+0.$

   
   Abbiamo cosi ottenuto che
   
   

   $\displaystyle \lim_{h \to 0} f(x_0 + h) =f(x_0).$

   
   
   

3. Conclusione.
   
   Ponendo $x=x_0+h$ e osservando che $x$ tende a $0$ se e solo se $h$ tende a 0, il limite appena ottenuto si può riscrivere come
   
   

   $\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) =f(x_0).$

   
   Ricordando la definizione, questo dimostra che $f$ è continua in $x_0$. $\checkmark$