Usando le regole di derivazione e la tabella delle derivate, calcola la derivata della funzione y=\sqrt[3]{x}\log_3(x)




y'=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}\ln(3)}\left(\ln(3)\cdot\log_3(x)+3\right)



Riscriviamo \sqrt[3]{x} come x^{1/3} quindi

y = x^{1/3} \log_3(x)


Possiamo utilizzare la regola del prodotto: se y = f(x)\cdot g(x) con f e g derivabili, allora la derivata y' è data da:

y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

  • Identificare le funzioni


    f(x) = x^{1/3}, \quad g(x) = \log_3(x)


  • Calcolare le derivate di f e g

    Si tratta di due funzioni elementari. Leggiamo le derivate direttamente dalla tabella:


    f(x) = x^{1/3} \implies f'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3}

    g(x) = \log_3(x) \implies g'(x)= \frac{1}{x\ln(3)}


  • Applicare la regola del prodotto

    Sostituendo f, g, f' e g' nella formula troviamo


    y' = \frac{1}{3} x^{-2/3} \cdot \log_3(x) + x^{1/3} \cdot\frac{1}{x\ln(3)}


  • Semplificare


    \begin{aligned} y' &= \frac{1}{3} x^{-2/3} \log_3(x) + \frac{1}{\ln(3)} x^{-2/3}\\ &=\frac{1}{3\ln(3)} x^{-2/3}\left(\ln(3)\cdot\log_3(x)+3\right)\\ &= \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}\ln(3)}\left(\ln(3)\cdot\log_3(x)+3\right) \end{aligned} 


    Questo è il risultato finale, che si può anche scrivere come: 

    \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}\ln(3)}\left(\ln(x)+3\right)