Usando le regole di derivazione e la tabella delle derivate, calcola la derivata della funzione y=\sqrt{2^x+\sqrt{x}}


y' = \frac{1}{2\sqrt{2^x + \sqrt{x}}} \left( 2^x \ln(2) + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \right)

Possiamo utilizzare la regola della catena.

  • Identificare la funzione esterna e la funzione interna
    Possiamo riscrivere la funzione come:


    y = (g(x))^{1/2}


    ovvero come composta f\circ g, dove g(x) = 2^x + \sqrt{x} e la funzione esterna è f(\cdot)=(\cdot)^\frac12

  • Applicare la regola del prodotto
    La derivata di y in x è


    y' = \frac{1}{2} (g(x))^{-1/2} \cdot g'(x)



  • Calcolare la derivata di g g(x) = 2^x + \sqrt{x}
    La derivata di g(x) è la somma delle derivate delle singole componenti (per linearità della derivata)


    g'(x) = \frac{d}{dx} 2^x + \frac{d}{dx} \sqrt{x}


    dove le derivate delle funzioni elementari sono

    \frac{d}{dx} 2^x = 2^x \ln(2)


    e

    \frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}


    Combinando queste due derivate:

    g'(x) = 2^x \ln(2) + \frac{1}{2 \sqrt{x}}

  • Sostituire g e g' nella Chain Rule

    y' = \frac{1}{2} (2^x + \sqrt{x})^{-1/2} \cdot \left( 2^x \ln(2) + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \right)


    Questo è il risultato finale.