Usando le regole di derivazione e la tabella delle derivate, calcola la derivata della funzione y=x^2(x^4-1)^3


y' = 2x (x^4 - 1)^2 (7x^4 - 1)

Possiamo utilizzare la regola del prodotto: se y = f(x)\cdot g(x) con f e g derivabili, allora la derivata y' in x è data da

y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

  • Identificare le funzioni


    f(x) = x^2\qquad\text{ e }\qquad g(x) = (x^4 - 1)^3 


  • Calcolare le derivate di f e g

    - Derivata di f(x) = x^2: f'(x) = 2x

    - Derivata di g(x) = (x^4 - 1)^3:

    Per derivare g(x), usiamo la Chain Rule. Osserviamo che g(x)=(v(x))^3 con funzione interna v(x)=x^4-1, quindi la funzione esterna è la potenza g(\cdot)=(\cdot)^3. La derivata di g quindi è

    g'(x) = 3 \big(v(x)\big)^2 \cdot v'(x) Poichè v'(x) = 4x^3,


    sostituendo v e v' nella formula per g' troviamo

    g'(x) = 3 (x^4 - 1)^2 \cdot 4x^3 = 12x^3 (x^4 - 1)^2


  • Applicare la regola del prodotto

    Sostituendo nella formula della derivata del prodotto le espressioni di f, g, f' e g' troviamo

    y' = 2x\cdot (x^4 - 1)^3 + x^2\cdot 12x^3 (x^4 - 1)^2


  • Semplificare

    Possiamo raccogliere il termine

    2x (x^4 - 1)^2: y' = 2x (x^4 - 1)^2 \left[(x^4 - 1) + 6x^4\right]


    ovvero il risultato finale è

    y' = 2x (x^4 - 1)^2 (7x^4 - 1)