Usando le regole di derivazione e la tabella delle derivate, calcola la derivata della funzione y=\displaystyle\frac{e^{-x^2}}{2-x}


y' = \frac{e^{-x^2} (1 - 4x + 2x^2)}{(2 - x)^2}

Possiamo utilizzare la regola del quoziente. La regola del quoziente afferma che, se y = \frac{f(x)}{g(x)} con f e g derivabili, allora la derivata y' è data da:

y' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}

  • Identificare le funzioni

    f(x) = e^{-x^2}, \quad g(x) = 2 - x


  • Calcolare le derivate di f e g

    - Derivata di f: usando la Chain Rule (scriviamo f come f(x)=e^{v(x)} con funzione interna v(x)=-x^2)

    f'(x) = e^{-x^2} \cdot \frac{d}{dx}(-x^2) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}


    - Derivata di g: la funzione è g(x) = 2 - x quindi la sua derivata è

    g'(x) = -1


  • Applicare la regola del quoziente

    Sostituendo f, g, f' e g' nella formula troviamo

    y' = \frac{(-2x e^{-x^2})(2 - x) - (e^{-x^2})(-1)}{(2 - x)^2}

  • Semplificare

    \begin{aligned} y' &= \frac{-2x e^{-x^2} (2 - x) + e^{-x^2}}{(2 - x)^2}\\ &= \frac{-4x e^{-x^2} + 2x^2 e^{-x^2} + e^{-x^2}}{(2 - x)^2}\\ & = \frac{e^{-x^2} (1 - 4x + 2x^2)}{(2 - x)^2}\qquad \text{risultato finale} \end{aligned}