Usando le regole di derivazione e la tabella delle derivate, calcola la derivata della funzione y=(x-1)e^{-\frac{1}{x}}


y'=e^{-\frac{1}{x}} \left( \frac{x^2 + x - 1}{x^2} \right)



Si tratta del prodotto di due funzioni f\cdot g, con f(x)= x-1 e g(x)= e^{-\frac{1}{x}}

  • Derivare i fattori

    - Derivata di f(x)=(x-1): f'(x)= 1

    - Derivata di g(x)=e^{-\frac{1}{x}}

    Si tratta di una funzione composta di tipo g(x)=e^{v(x)}, con funzione interna v(x)=\frac{1}{x}. Osservando che v'(x)=\frac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}, dalla Chain Rule abbiamo

    g'(x)=e^{-\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2}


  • Applicare la regola del prodotto

    La regola del prodotto รจ [f\cdot g]'=f'g+fg'. Sostituendo i valori di f e g e delle loro derivate troviamo

    y' = 1 \cdot e^{-\frac{1}{x}} + (x-1) \cdot \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}


  • Semplificare il risultato

    \begin{aligned} y' &= e^{-\frac{1}{x}} + \frac{x-1}{x^2} e^{-\frac{1}{x}}\\ & = e^{-\frac{1}{x}} \left( 1 + \frac{x-1}{x^2} \right)\\ & = e^{-\frac{1}{x}} \left( \frac{x^2 + x - 1}{x^2} \right)\qquad \text{risultato finale} \end{aligned}