Usando le regole di derivazione e la tabella delle derivate, calcola la derivata della funzione y=4^{\sin^5(x)-3}


y' = 4^{\sin^5 x - 3}\ln(4) \cdot 5\sin^4 x \cos x

Possiamo leggere la funzione come composta

  • Identificare la funzione interna e la funzione esterna

    Scriviamo la funzione come

    y = 4^{g(x)}\qquad \text{con}\qquad g(x)={\sin^5(x) - 3}


    dove la funzione esterna f è l’esponenziale con base 4

  • Applicare la Chain Rule

    Ricordando che la derivata di f(t)=4^t è f'(t)=4^t\ln(4), dalla Chain Rule abbiamo

    \frac{d}{dx} \left[ 4^{g(x)} \right] = 4^{g(x)}\ln(4) \cdot g'(x)


    Per applicare questa regola alla nostra funzione ci serve g'

  • Calcolare la derivata di g


    - Derivata di \sin^5 (x):


    Scriviamo la funzione come composta \sin^5 (x)= (v(x))^5 con funzione interna v(x)=\sin (x) e funzione esterna (\cdot)^5. Usando la Chain Rule abbiamo

    \frac{d}{dx} [\sin^5 (x)] = 5(\sin (x))^4 \cdot \cos (x)


    - Derivata di \sin^5 (x) - 3: per linearità

    \frac{d}{dx} [\sin^5 (x) - 3] = \frac{d}{dx} [\sin^5 (x)]-\frac{d}{dx}[3]= 5\sin^4 (x) \cdot \cos (x)-0


  • Sostituire g e g' nella Chain Rule

    y' = 4^{\sin^5 (x) - 3}\ln(4) \cdot 5\sin^4 (x) \cos (x)