Usando le regole di derivazione e la tabella delle derivate, calcola la derivata della funzione y=\frac{1}{\ln(\cos(x))}


y'=\frac{\tan x}{\ln^2(\cos x)}

Possiamo leggere la funzione come composta in questo modo.

  • Identificare la funzione interna e la funzione esterna

    y = \frac{1}{g(x)}\qquad \text{con}\qquad g(x)=\ln(\cos(x))


    dove la funzione esterna è il reciproco: f(\cdot)=\frac{1}{(\cdot)}. Applichiamo la Chain Rule ricordando che la derivata rispetto a t di f(t)=\frac1t è f'(t)=-\frac{1}{t^2}:

    y'=-\frac{1}{[g(x)]^2}\cdot g'(x)


    Ci serve quindi g'

  • Calcolare la derivata di g

    Si tratta ancora di una composizione:

    g(x)=\ln (v(x))\qquad \text{con}\qquad v(x)=\cos(x) 


    Applichiamo la Chain Rule, ricordando che v'(x)=-\sin x:

    g'(x)=\frac{1}{v(x)}\cdot v'(x)=\frac{1}{\cos x}\cdot -\sin x=-\tan x


  • Sostituire g e g' nella Chain Rule


    • y'=-\frac{1}{[\ln(\cos x)]^2}\cdot -\tan x


    Semplificando, il risultato finale è

    y'=\frac{\tan x}{[\ln(\cos x)]^2}