Usando le regole di derivazione e la tabella delle derivate, calcola la derivata della funzione y=\arcsin(\sqrt{x})+\arctan(x^2)


y' = \frac{1}{2\sqrt{x(1 - x)}} + \frac{2x}{1 + x^4}

Si tratta di una somma di funzioni, dunque la derivata di y sarà la somma delle derivate dei due addendi. Per calcolarle, useremo il teorema di derivazione per funzioni composte e le derivate note delle funzioni trigonometriche inverse.

  • Derivata di \arcsin(\sqrt{x})

    Per derivare \arcsin(\sqrt{x}) osserviamo che si tratta di una funzione composta con funzione interna g(x)=\sqrt{x} e funzione esterna \arcsin(\cdot). Ricordiamo che la derivata di \arcsin(t) rispetto a t è \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}, dunque dalla Chain Rule abbiamo

    \frac{d}{dx} \arcsin(\sqrt{x}) =\frac{1}{\sqrt{1 - (g(x))^2}} \cdot g'(x)=\frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{d}{dx} (\sqrt{x})


    Poiché (\sqrt{x})^2 = x e la derivata di \sqrt{x} è \frac{1}{2\sqrt{x}} troviamo

    \frac{d}{dx} \arcsin(\sqrt{x}) = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x} \sqrt{1 - x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1 - x)}}


  • Derivata di \arctan(x^2)

    Per derivare \arctan(x^2), usiamo ancora la regola della catena. In questo caso la funzione interna è g(x)=x^2, con derivata g'(x)=2x, e la funzione esterna è \arctan(\cdot). Ricordando che la derivata di \arctan(t) rispetto a t è \frac{1}{1 + t^2}, dalla Chain Rule abbiamo

    \frac{d}{dx} \arctan(x^2) = \frac{1}{1 + (g(x))^2}\cdot g'(x)=\frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot 2x


    Poiché (x^2)^2 = x^4 abbiamo

    \frac{d}{dx} \arctan(x^2) = \frac{1}{1 + x^4} \cdot 2x = \frac{2x}{1 + x^4}


  • Derivata finale


    Sommiamo le due derivate ottenute:


    • y' = \frac{d}{dx} \arcsin(\sqrt{x}) + \frac{d}{dx} \arctan(x^2)


    Otteniamo che la derivata della funzione

    y = \arcsin(\sqrt{x}) + \arctan(x^2) è: y' = \frac{1}{2\sqrt{x(1 - x)}} + \frac{2x}{1 + x^4}