Usando le regole di derivazione e la tabella delle derivate, calcola la derivata della funzione y=(\sin x)^{\cos x}


y' = (\sin x)^{\cos x} \left( -\sin x \cdot \ln (\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x} \right)

Possiamo utilizzare l’identità y=e^{\ln y} valida per ogni y>0 per riscrivere la funzione come

y = e^{\displaystyle\ln \big( (\sin x)^{\cos x} \big)}


Usando la proprietà dei logaritmi \ln(a^b) = b \ln(a), otteniamo:

y = e^{\displaystyle\cos x \cdot \ln (\sin x)}


Per calcolare la derivata possiamo utilizzare il teorema di derivazione della funzione composta.

  • Identificare la funzione esterna e la funzione interna

    Scriviamo

    y=e^{g(x)}\qquad \text{con}\qquad g(x)=\cos x \cdot \ln (\sin x). 


    Dalla Chain Rule otteniamo quindi che

    y' = e^{g(x)}\cdot g'(x)


  • Calcolare la derivata di g

    Utilizziamo la regola del prodotto:

    \frac{d}{dx} [\cos x \cdot \ln (\sin x)]= \frac{d}{dx} [\cos x] \cdot \ln (\sin x) + \cos x \cdot \frac{d}{dx} [\ln (\sin x)]


    La derivata di \cos x è -\sin x, quindi:

    \frac{d}{dx} [\cos x] \cdot \ln (\sin x) = -\sin x \cdot \ln (\sin x)


    La derivata di \ln (\sin x) si calcola con la Chain Rule: derivata della funzione esterna (ovvero \ln(\cdot)) calcolata nella funzione interna \sin x, per la derivata di \sin x:

    \frac{d}{dx} [\ln (\sin x)] = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x}


    Quindi:

    \cos x \cdot \frac{d}{dx} [\ln (\sin x)] = \frac{\cos^2x}{\sin x} 


    Mettendo insieme i termini:

    \frac{d}{dx} g(x)= -\sin x \cdot \ln (\sin x) + \frac{\cos^2x}{\sin x}


  • Sostituire g e g' nella Chain Rule


    • y' = e^{\cos x\cdot \ln(\sin x)} \left( -\sin x \cdot \ln (\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x}\right)


    Ricordando che e^{\cos x\cdot \ln(\sin x)}= (\sin x)^{\cos x}, otteniamo il risultato finale:


    y' = (\sin x)^{\cos x} \left( -\sin x \cdot \ln (\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x} \right)