Usando le regole di derivazione e la tabella delle derivate, calcola la derivata della funzione y=|x^2-2x-3|


y'=(2x-2)\cdot\text{sgn}(x^2 - 2x - 3 )

Come prima cosa scriviamo la funzione senza modulo. Per questo è necessario studiare il segno del suo argomento

  • Studiare il segno dell’argomento del valore assoluto


    Cominciamo studiando l’equazione:

    x^2 - 2x - 3 = 0


    È un’equazione quadratica di tipo ax^2+bx+c=0, quindi ha soluzioni solo se il discriminante

    \Delta = b^2 - 4ac


    è positivo o nullo. Nel nostro caso a = 1, b = -2 e c = -3 dunque

    \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16


    Le radici dell’equazione sono date dalla formula

    x = \frac{-b \pm \sqrt\Delta}{2a}


    ovvero

    x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}


    Semplificando troviamo:

    x = 3 \quad \text{e} \quad x = -1


    Poiché a>0, il segno del polinomio è positivo per valori esterni a -1 e 3, cioè per x e x>3, ed è negativo per i valori interni 1:

    \text{sgn}(x^2 - 2x - 3 ) =\begin{cases} 1 & \text{se } x < -1 \text{ o } x > 3 \\ -1& \text{se } -1 < x < 3 \end{cases}


  • Espressione della funzione senza il valore assoluto

    y = |x^2 - 2x - 3| = \begin{cases} x^2 - 2x - 3 & \text{se } x < -1 \text{ o } x > 3 \\ -(x^2 - 2x - 3) & \text{se } -1 < x < 3 \end{cases}


  • Calcolo della derivata

    • Osserviamo che in x=-1 e x=3 non si possono usare i teoremi di derivazione perché l’espressione analitica della funzione è diversa a sinistra e a destra di ciascuno dei due valori. Possiamo invece usare le regole su ciascun intervallo aperto


    - Per x\in (-\infty, -1) \cup (3,+\infty):

    y = x^2 - 2x - 3 \implies y' = 2x - 2


    - Per x\in (-1, 3):

    y = -(x^2 - 2x - 3) = -x^2 + 2x + 3 \implies y' = -2x + 2



  • Conclusione

    • La derivata della funzione y = |x^2 - 2x - 3| per x\neq -1 e x\neq 3 è:

    y' = \begin{cases} 2x - 2 & \text{se } x < -1 \text{ o } x > 3 \\ -2x + 2 & \text{se } -1 < x < 3 \end{cases}


    che possiamo anche scrivere in modo compatto come

    y'=(2x-2)\cdot\text{sgn}(x^2 - 2x - 3 )

Attenzione!

La funzione non è derivabile nei punti x = -1 e x = 3 , ovvero f'(-1) e f'(3) non esistono.

Per motivare questa affermazione usiamo la definizione di derivata: vediamo come funziona il caso di x=3. Chiamiamo f la nostra funzione ricordando la sua espressione

f(x) = |x^2 - 2x - 3| = \begin{cases} x^2 - 2x - 3 & \text{se } x < -1 \text{ o } x > 3 \\ -(x^2 - 2x - 3) & \text{se } -1 < x < 3 \end{cases}


Per \Delta x=h\neq 0, la variazione della funzione è


f(3+h)-f(3)= \begin{cases} (3+h)^2 - 2(3+h) - 3 & \text{se } h > 0\\ -[(3+h)^2 - 2(3+h) - 3] & \text{se } h < 0 \end{cases}


Qui stiamo usando il fatto che f(0)=0, e che f si calcola in questo modo: per valori maggiori di tre, cioè quando h >0, f si legge nella prima riga, mentre quando h l'input di f è minore di tre quindi leggiamo f nella seconda riga. Possiamo pensare h piccolo, visto che studieremo il limite per h che tende a 0. Sviluppando i conti si arriva a  

f(3+h)-f(3)= \begin{cases} h^2+4h & \text{se } h >0 \\  -h^2-4h & \text{se } h < 0   \end{cases}


Dunque il rapporto incrementale di f in x=3 è


\frac{f(3+h)-f(3)}{h}= \begin{cases} h+4 & \text{se }h > 0\\  -h-4 & \text{se } h < 0   \end{cases}


Ora studiamo il limite per h che tende a zero: ci accorgiamo che il limite da destra (cioè per valori positivi di h) è 4. Invece, il limite da sinistra è -4.
Questo significa che il limite del rapporto incrementale non esiste


\lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\qquad \text{non esiste} 


Concludiamo quindi che f non è derivabile in x=3.}

Con lo stesso tipo di ragionamento si studia il caso x=-1.