Derivata dell'esponenziale complesso

Derivata dell'esponenziale complesso

Consideriamo una funzione di variabile reale a valori complessi, cioè:

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}\text{.}$

Per ogni t reale possiamo scrivere:

$f\left( t\right) =f_{1}\left( t\right) +if_{2}\left( t\right)$

con $f_{1}\left( t\right)$, $f_{2}\left( t\right)$ reale. Questo significa che la funzione $f$ ha la forma

$f =f_{1}+if_{2}\text{ con}$

$f_{1},f_{2} :\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$

L'esempio che ci interesserà in seguito è proprio quello dell'esponenziale complesso. Sia:

$\lambda=\alpha+i\beta\text{ con }\alpha,\beta\in\mathbb{R}\text{,}%$

e consideriamo

$f\left( t\right) =e^{\lambda t}=e^{\left( \alpha+i\beta\right) t}=e^{\alpha t}\cos\beta t+ie^{\alpha t}\sin\beta t.$

Quindi

$\begin{align*} f\left( t\right) & =f_{1}\left( t\right) +if_{2}\left( t\right) \text{ con}\\ f_{1}\left( t\right) & =e^{\alpha t}\cos\beta t\\ f_{2}\left( t\right) & =e^{\alpha t}\sin\beta t \end{align*}$

Ora diamo questa definizione.
Se

$\begin{align*} f & =f_{1}+if_{2}\text{ dove}\\ f_{1},f_{2} & :\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}\text{ sono derivabili,} \end{align*}$

Poniamo, per definizione:

$f^{\prime}\left( t\right) =f_{1}^{\prime}\left( t\right) +if_{2}^{\prime }\left( t\right) .$

Dimostriamo che, in base a questa definizione, vale la seguente regola di calcolo:

$\text{per }\lambda\in\mathbb{C}\text{, }\left( e^{\lambda t}\right) ^{\prime}=\lambda e^{\lambda t}\text{ per ogni }t\in\mathbb{R}.$

Dimostrazione: Poniamo

$\lambda =\alpha+i\beta\text{ con }\alpha,\beta\in\mathbb{R}\text{,}$

$f\left( t\right) =e^{\lambda t}=e^{\left( \alpha+i\beta\right) t}=e^{\alpha t}\cos\beta t+ie^{\alpha t}\sin\beta t$

e calcoliamo in base alla definizione

$f^{\prime}\left( t\right) =\left( e^{\alpha t}\cos\beta t\right) ^{\prime }+i\left( e^{\alpha t}\sin\beta t\right) ^{\prime}%$

calcolando al solito modo le derivate delle due funzioni tra parentesi, che sono reali,

$=e^{\alpha t}\left( \alpha\cos\beta t-\beta\sin\beta t\right) +ie^{\alpha t}\left( \alpha\sin\beta t+\beta\cos\beta t\right) .$

D'altra parte, calcoliamo ora

$\lambda e^{\lambda t}=\left( \alpha+i\beta\right) e^{\left( \alpha +i\beta\right) t}=\left( \alpha+i\beta\right) e^{\alpha t}\left( \cos\beta t+i\sin\beta t\right)$

eseguendo il prodotto dei due numeri complessi in forma algebrica

$=e^{\alpha t}\left( \alpha\cos\beta t-\beta\sin\beta t\right) +ie^{\alpha t}\left( \alpha\sin\beta t+\beta\cos\beta t\right) .$

Come si vede, il calcolo di $\left( e^{\lambda t}\right) ^{\prime}$ e il calcolo di $\lambda e^{\lambda t}$ danno lo stesso risultato, quindi la formula di derivazione è dimostrata.

La regola di derivazione si può applicare più volte, ottenendo ad esempio

$\left( e^{\lambda t}\right) ^{\prime\prime}=\lambda^{2}e^{\lambda t}.$

Possiamo ora renderci conto che la procedura che abbiamo seguito per la ricerca di due soluzioni dell'equazione differenziale in forma esponenziale è rigorosa anche quando coinvolge esponenziali complessi. Infatti, si può procedere così: data l'equazione differenziale

$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0,$

cerchiamo soluzioni di tipo esponenziale

$y\left( t\right) =e^{\lambda t}$

dove $\lambda$, incognita, a priori è reale o complessa. In ogni caso valgono le identità

$y^{\prime}\left( t\right) =\lambda e^{\lambda t}, y^{\prime\prime}\left( t\right) =\lambda^{2}e^{\lambda t}%$

e sostituendo $y,y^{\prime},y^{\prime\prime}$ nell'equazione differenziale, otteniamo

$\left( a\lambda^{2}+b\lambda+c\right) e^{\lambda t}=0$

che è soddisfatta se e solo se $\lambda$ soddisfa l'equazione caratteristica

$a\lambda^{2}+b\lambda+c=0,$

in quanto anche per $\lambda$ complesso, $e^{\lambda t}$ non si annulla mai. Perciò se l'equazione caratteristica ha due soluzioni complesse coniugate, le corrispondenti funzioni esponenziali complesse

$e^{\lambda_{1}t},e^{\lambda_{2}t},$

cioè

$e^{\left( \alpha+i\beta\right) t},e^{\left( \alpha-i\beta\right) t}%$

sono effettivamente soluzioni dell'equazione differenziale.

Inoltre, continua a valere per funzioni a valori complessi la proprietà di linearità dell'equazione: ogni combinazione lineare, a coefficienti reali o complessi, di due soluzioni complesse dell'equazione è ancora soluzione dell'equazione. Quindi effettivamente

$\frac{e^{\left( \alpha+i\beta\right) t}+e^{\left( \alpha-i\beta\right) t}% }{2}=e^{\alpha t}\cos\left( \beta t\right)$

e

$\frac{e^{\left( \alpha+i\beta\right) t}-e^{\left( \alpha-i\beta\right) t}% }{2i}=e^{\alpha t}\sin\left( \beta t\right)$

sono soluzioni dell'equazione, e sono reali. Con questo abbiamo giustificato completamente il procedimento seguito.