1. Il metodo di somiglianza: forzante esponenziale-trigonometrica


Un caso importante in cui è possibile cercare una soluzione particolare di un'equazione differenziale lineare del second'ordine a coefficienti costanti non omogenea tramite il metodo di somiglianza è quello in cui il termine noto è di tipo esponenziale-trigonometrico, cioè:


f\left( t\right) =e^{\alpha t}\left( A\cos\left( \nu t\right) +B\sin\left( \nu t\right) \right)


Con A, B,  \alpha ,  \nu assegnati. Partiamo da un esempio, cerchiamo una soluzione particolare dell'equazione


y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-3y=4e^{-t}\cos\left( 2t\right) .


L'idea è che se vediamo il primo membro dell'equazione omogenea come un operatore, ossia una “scatola nera” che ad ogni funzione in ingresso restituisce una funzione in uscita


y\left( t\right) \mapsto\fbox{$\frac{d^2}{dt^2}-2\frac{d}{dt}-3$}\mapsto y^{\prime\prime}\left( t\right) -2y^{\prime}\left( t\right) -3y\left( t\right) ,


allora quando inseriamo una funzione esponenziale-trigonometrica del tipo


C_{1}e^{-t}\cos\left( 2t\right) oppure  C_{2}e^{-t}\sin\left( 2t\right) ,


otterremo in ogni caso un'espressione combinazione lineare di


e^{-t}\cos\left( 2t\right) e  e^{-t}\sin\left( 2t\right) .


Possiamo quindi inserire come ingresso una soluzione del tipo


e^{-t}\left( C_{1}\cos\left( 2t\right) +C_{2}\sin\left( 2t\right) \right) ,


e cercare di determinare per quali valori di  C_{1},C_{2} la funzione in uscita coincide col termine noto dell'equazione 


4e^{-t}\cos\left( 2t\right) .


Quindi cerchiamo una soluzione del tipo


y\left( t\right) =e^{-t}\left( C_{1}\cos\left( 2t\right) +C_{2} \sin\left( 2t\right) \right) .


Perciò calcoliamo le derivate. Il calcolo è pesante perché dobbiamo calcolare derivate prime e seconde di un prodotto, e poi riordinare i termini simili.


\begin{align*} y^{\prime}\left( t\right) & =e^{-t}\left[ -\left( C_{1}\cos\left( 2t\right) +C_{2}\sin\left( 2t\right) \right) +\left( -2C_{1}\sin\left( 2t\right) +2C_{2}\cos\left( 2t\right) \right) \right] \\ & =e^{-t}\left[ \left( -C_{1}+2C_{2}\right) \cos\left( 2t\right) +\left( -C_{2}-2C_{1}\right) \sin\left( 2t\right) \right] \\ y^{\prime\prime}\left( t\right) & =e^{-t}\left\{ \left[ -\left( -C_{1}+2C_{2}\right) \cos\left( 2t\right) -\left( -C_{2}-2C_{1}\right) \sin\left( 2t\right) \right] \right. \\ & \left. +\left[ -2\left( -C_{1}+2C_{2}\right) \sin\left( 2t\right) +2\left( -C_{2}-2C_{1}\right) \cos\left( 2t\right) \right] \right\} \\ & =e^{-t}\left[ \left( C_{1}-2C_{2}-2C_{2}-4C_{1}\right) \cos\left( 2t\right) +\left( C_{2}+2C_{1}+2C_{1}-4C_{2}\right) \sin\left( 2t\right) \right] \\ & =e^{-t}\left[ \left( -3C_{1}-4C_{2}\right) \cos\left( 2t\right) +\left( 4C_{1}-3C_{2}\right) \sin\left( 2t\right) \right] \end{align*}


Sostituendo  y\left(t\right) ,  y^{\prime}\left(t\right) ,  y^{\prime\prime}\left(t\right) nell'equazione troviamo


\begin{align*} & e^{-t}\left[ \left( -3C_{1}-4C_{2}\right) \cos\left( 2t\right) +\left( 4C_{1}-3C_{2}\right) \sin\left( 2t\right) \right] \\ & -2e^{-t}\left[ \left( -C_{1}+2C_{2}\right) \cos\left( 2t\right) +\left( -C_{2}-2C_{1}\right) \sin\left( 2t\right) \right] \\ & -3e^{-t}\left( C_{1}\cos\left( 2t\right) +C_{2}\sin\left( 2t\right) \right) \\ & =4e^{-t}\cos\left( 2t\right) . \end{align*}


Riordinando i termini simili e semplificando per l'esponenziale riscriviamo:


\begin{align*} & \cos\left( 2t\right) \left[ \left( -3C_{1}-4C_{2}\right) -2\left( -C_{1}+2C_{2}\right) -3C_{1}\right] \\ & +\sin\left( 2t\right) \left[ \left( 4C_{1}-3C_{2}\right) -2\left( -C_{2}-2C_{1}\right) -3C_{2}\right] =4\cos\left( 2t\right) \end{align*}

\cos\left( 2t\right) \left( -4C_{1}-8C_{2}\right) +\sin\left( 2t\right) \left( 8C_{1}-4C_{2}\right) =4\cos\left( 2t\right).


Se vogliamo che questa sia un'identità, cioè che primo e secondo membro siano la stessa funzione, è necessario che coincidano il coefficiente di  \cos\left( 2t\right)   a primo e secondo membro e il coefficiente di  \sin\left( 2t\right) a primo e secondo membro. Perciò otteniamo:


\begin{cases} -4C_{1}-8C_{2}=4\\ 8C_{1}-4C_{2}=0 \end{cases}


che è un sistema lineare di due equazioni nelle due incognite  C_{1} ,  C_{2} . Risolvendo il sistema si trova:


  C_{1}=-\frac{1}{5}; C_{2}=-\frac{2}{5}.


Quindi una soluzione dell'equazione è:


y\left( t\right) =e^{-t}\left( -\frac{1}{5}\cos\left( 2t\right) -\frac {2}{5}\sin\left( 2t\right) \right) .


Generalizzando quanto visto in quest'esempio, possiamo dire che:
data un'equazione differenziale del tipo


ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=e^{\alpha t}\left( c_{1}\cos\left( \nu t\right) +c_{2}\sin\left( \nu t\right) \right) ,


si può cercare una soluzione particolare della forma:


y\left( t\right) =e^{\alpha t}\left( C_{1}\cos\left( \nu t\right) +C_{2}\sin\left( \nu t\right) \right)


con  C_{1}, C_{2} da determinarsi, e  \alpha,\nu  uguali a quelli che compaiono nel secondo membro dell'equazione. Calcolando  y^{\prime} ,  y^{\prime\prime} ,  y^{\prime\prime}  nell'equazione e imponendo che questa sia un'identità, troveremo un sistema lineare di due equazioni nelle due incognite  C_{1},C_{2},  risolto il quale è determinata una soluzione particolare.


Notiamo che, anche se il termine noto contiene un solo termine


Ae^{\alpha t}\cos\left( \nu t\right) oppure  Be^{\alpha t}\sin\left( \nu t\right) ,


la soluzione va comunque cercata come combinazione lineare di entrambe, come già accadeva nell'esempio numerico che abbiamo appena svolto.

Anche in questo caso, come nei casi in cui il termine noto è esponenziale puro o trigonometrico puro, è facile rendersi conto che esiste un caso che fa eccezione alla regola precedente: se i numeri complessi coniugati


\alpha\pm i\nu


sono le soluzioni dell'equazione caratteristica 


a\lambda^{2}+b\lambda+c=0,


il secondo membro dell'equazione completa sarà soluzione dell'equazione omogenea associata. In questo caso, se inseriamo nella “scatola nera” il “primo membro dell'equazione differenziale” una qualsiasi funzione simile al termine noto, ne uscirà la funzione identicamente nulla. In questo caso si potrà cercare una soluzione particolare del tipo


y\left( t\right) =te^{\alpha t}\left( C_{1}\cos\left( \nu t\right) +C_{2}\sin\left( \nu t\right) \right) ,


il che purtroppo porta a calcoli pesanti, dovendo ora calcolare derivate prime e seconde del prodotto di tre fattori. Esiste però un metodo alternativo, che fa uso dell'esponenziale complesso. Questo metodo, descritto nell'approfondimento successivo, semplifica notevolmente il calcolo delle derivate, a prezzo di usare un po' di algebra dei numeri complessi.