L'esponenziale complesso nel metodo di somiglianza

Uso dell'esponenziale complesso nel metodo di somiglianza

Per determinare una soluzione particolare di un'equazione lineare a coefficienti costanti con termine noto esponenziale-trigonometrico, cioè del tipo:

$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=Ae^{\alpha t}\cos\left( \beta t\right)$

oppure

$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=Ae^{\alpha t}\sin\left( \beta t\right)$

si puo' utilizzare l'esponenziale complesso. Ci occorrono due osservazioni preliminari. La prima è che i termini noti delle equazioni scritte qui sopra si possono vedere come parte reale e parte immaginaria, rispettivamente, di una funzione esponenziale complessa, ossia:

$\begin{align*} e^{\alpha t}\cos\left( \beta t\right) & =\operatorname{Re}\left( e^{\left( \alpha+i\beta\right) t}\right) \\ e^{\alpha t}\sin\left( \beta t\right) & =\operatorname{Im}\left( e^{\left( \alpha+i\beta\right) t}\right) . \end{align*}$

La seconda osservazione richiede un discorso un po' più articolato. Se vediamo il primo membro dell'equazione omogenea come un operatore, ossia una “scatola nera” che ad ogni funzione in ingresso restituisce una funzione in uscita, così

$f\mapsto\fbox{$a\frac{d^2}{dt^2}+b\frac{d}{dt}+c$}\mapsto af^{\prime\prime }+bf^{\prime}+cf$

che possiamo scrivere più sinteticamente così

$f\mapsto\fbox{$L$}\mapsto Lf$

allora l'operatore lineare $L$ tiene separate la parte reale e la parte immaginaria della funzione complessa su cui lo calcoliamo. 

Infatti, quando inseriamo una funzione a valori complessi $f_{1}+if_{2}$, succede questo:

$\begin{align*} f_{1}+if_{2} & \mapsto\fbox{$a\frac{d^2}{dt^2}+b\frac{d}{dt}+c$}\mapsto a\left( f_{1}^{\prime\prime}+if_{2}^{\prime\prime}\right) +b\left( f_{1}^{\prime}+if_{2}^{\prime}\right) +c\left( f_{1}+if_{2}\right) \\ & =\left( af_{1}^{\prime\prime}+bf_{1}^{\prime}+cf_{1}\right) +i\left( af_{2}^{\prime\prime}+bf_{2}^{\prime}+cf_{2}\right) \\ & =Lf_{1}+iLf_{2} \end{align*}$

In sintesi:

$L\left( f_{1}+if_{2}\right) =Lf_{1}+iLf_{2},$

dunque se una funzione complessa $f=f_{1}+if_{2}$ è soluzione di un'equazione non omogenea con termine noto complesso $g_{1}+ig_{2}$, ossia

$L\left( f_{1}+if_{2}\right) =g_{1}+ig_{2},$

allora

$\begin{cases} Lf_{1}=g_{1}\\ Lf_{2}=g_{2} \end{cases}$

Cioè la parte reale di $f$ risolve l'equazione con termine noto parte reale di $g$, e analogamente per le parti immaginarie.

Veniamo all'applicazione che ci interessa, che illustriamo come al solito su un esempio.
Vogliamo determinare una soluzione dell'equazione

$y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-3y=4e^{-t}\cos\left( 2t\right) .$

Osserviamo che

$4e^{-t}\cos\left( 2t\right) =\operatorname{Re}\left( 4e^{\left( -1+2i\right) t}\right) .$

Consideriamo allora l'equazione differenziale (con termine noto complesso)

$w^{\prime\prime}-2w^{\prime}-3w=4e^{\left( -1+2i\right) t}.$

Per quest'equazione possiamo cercare, col metodo di somiglianza, una soluzione (complessa) del tipo

$w\left( t\right) =Ce^{\left( -1+2i\right) t}%$

Per quest'equazione possiamo cercare, col metodo di somiglianza, una soluzione (complessa) del tipo

$w\left( t\right) =Ce^{\left( -1+2i\right) t}%$

con $C$ incognita complessa. Il calcolo è semplice:

$\begin{align*} w^{\prime}\left( t\right) & =C\left( -1+2i\right) e^{\left( -1+2i\right) t}\\ w^{\prime\prime}\left( t\right) & =C\left( -1+2i\right) ^{2}e^{\left( -1+2i\right) t} \end{align*}$

Sostituendo nell'equazione differenziale:

$\left[ C\left( -1+2i\right) ^{2}e^{\left( -1+2i\right) t}\right] -2\left[ C\left( -1+2i\right) e^{\left( -1+2i\right) t}\right] -3\left[ Ce^{\left( -1+2i\right) t}\right] =4e^{\left( -1+2i\right) t}.$

Semplificando l'esponenziale complesso e raccogliendo la $C$,

$\begin{align*} C\left\{ \left( -1+2i\right) ^{2}-2\left( -1+2i\right) -3\right\} & =4\\ C\left\{ -3-4i+2-4i-3\right\} & =4\\ C\left\{ -4-8i\right\} & =4\\ C & =\frac{1}{-1-2i}=\frac{-1+2i}{5} \end{align*}$

Perciò la soluzione dell’equazione con termine noto complesso è

$\begin{align*} w\left( t\right) & =Ce^{\left( -1+2i\right) t}=\frac{-1+2i}{5} e^{-t}\left( \cos\left( 2t\right) +i\sin\left( 2t\right) \right) \\ & =\frac{e^{-t}}{5}\left[ \left( -\cos\left( 2t\right) -2\sin\left( 2t\right) \right) +i\left( 2\cos\left( 2t\right) -\sin\left( 2t\right) \right) \right] . \end{align*}$

In definitiva, la soluzione dell'equazione di partenza è:

$y\left( t\right) =\operatorname{Re}\left( w\left( t\right) \right) =\frac{e^{-t}}{5}\left( -\cos\left( 2t\right) -2\sin\left( 2t\right) \right) .$

In realtà con questo stesso calcolo abbiamo risolto anche l'equazione differenziale

$y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-3y=4e^{-t}\sin\left( 2t\right) .$

Infatti, poiché 

$4e^{-t}\sin\left( 2t\right) =\operatorname{Im}\left( 4e^{\left( -1+2i\right) t}\right)$

la soluzione di quest'equazione differenziale è:

$y\left( t\right) =\operatorname{Im}\left( w\left( t\right) \right) =\frac{e^{-t}}{5}\left( 2\cos\left( 2t\right) -\sin\left( 2t\right) \right) .$

Perciò il calcolo con l'esponenziale complesso, risolvendo in un primo tempo un'equazione differenziale con termine noto complesso, ottiene simultaneamente la soluzione di due equazioni differenziali con termine noto reale: quella che ci interessa, e un'altra simile ma che coinvolge l'altra funzione trigonometrica.

Enunciamo ora il metodo generale

Se cerchiamo una soluzione particolare di un'equazione completa del tipo

$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=Ae^{\alpha t}\cos\left( \beta t\right)$

oppure

$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=Ae^{\alpha t}\sin\left( \beta t\right)$

si può ragionare così. Per prima cosa si passa a considerare l'equazione con termine noto complesso

$aw^{\prime\prime}+bw^{\prime}+cw=Ae^{\left( \alpha+i\beta\right) t}.$

Per quest'equazione possiamo cercare, col metodo di somiglianza, una soluzione (complessa) del tipo

$w\left( t\right) =Ce^{\left( \alpha+i\beta\right) t}$

Con $C$ incognita complessa. Calcolando le derivate, sostituendo e semplificando l'esponenziale complesso, si ottiene un'equazione algebrica di primo grado in $C$ (con coefficienti complessi).

$C\left[ a\left( \alpha+i\beta\right) ^{2}+b\left( \alpha+i\beta\right) +c\right] =A.$

Calcolato $C$ e riscritto in forma algebrica, lo si sostituisce nell'espressione $w\left( t\right) =Ce^{\left( \alpha+i\beta\right) t}$, che si riscrive a sua volta in forma algebrica, cioé separando parte reale e immaginaria.
A questo punto le funzioni

$\begin{align*} y_{1}\left( t\right) & =\operatorname{Re}\left( Ce^{\left( \alpha +i\beta\right) t}\right) \\ y_{2}\left( t\right) & =\operatorname{Im}\left( Ce^{\left( \alpha +i\beta\right) t}\right) \end{align*}$

sono, rispettivamente, soluzione dell'equazione

$\begin{align*} ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy & =Ae^{\alpha t}\cos\left( \beta t\right) \\ ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy & =Ae^{\alpha t}\sin\left( \beta t\right) . \end{align*}$

Notiamo quindi che, col metodo dell'esponenziale complesso, un solo calcolo fornisce le soluzioni dell'equazione differenziale con due forzanti diverse. Notiamo anche che il metodo dell'esponenziale complesso si può evidentemente usare anche nel caso in cui il termine noto è trigonometrico puro.

Il metodo dell'esponenziale complesso presenta un'eccezione: se i numeri complessi coniugati

$\alpha\pm i\beta$

sono le soluzioni dell'equazione caratteristica

$a\lambda^{2}+b\lambda+c=0,$

allora il termine noto dell'equazione (complessa)

$e^{\left( \alpha+i\beta\right) t}$

è soluzione (complessa) dell'equazione differenziale omogenea, quindi l'equazione completa non può avere nessuna soluzione multipla del termine noto. In questo caso si può cercare una soluzione dell'equazione

$aw^{\prime\prime}+bw^{\prime}+cw=Ae^{\left( \alpha+i\beta\right) t}$

del tipo

$w\left( t\right) =Cte^{\left( \alpha+i\beta\right) t}.$

Trovata questa soluzione $w\left( t\right)$, la sua parte reale o immaginaria sarà soluzione dell'equazione con termine noto

$Ae^{\alpha t}\cos\left( \beta t\right) \text{ o }Ae^{\alpha t}\sin\left( \beta t\right) .$