Un esempio di termine forzante somma di termini trattabili col metodo di somiglianza

Un esempio di termine forzante somma di termini trattabili col metodo di somiglianza

Quando la forzante è del tipo $f=f_{1}+f_{2}$ con $f_{1}$ e $f_{2}$ trattabili col metodo di somiglianza, è sufficiente cercare separatamente una soluzione particolare $y_{1}$ dell'equazione $Ly=f_{1}$ e una soluzione particolare $y_{2}$ dell'equazione $Ly=f_{2}$. A questo punto il Principio di Sovrapposizione assicura che la somma $y_{1}+y_{2}$ è una soluzione particolare dell'equazione $Ly=f_{1}+f_{2}$.

Vediamo un esempio; vogliamo risolvere:

$y^{\prime\prime}+y=7e^{t}-5\sin(2t)$

La forzante $f$ non è una funzione elementare, ma può essere letta in questo modo:

$f=f_{1}+f_{2}\quad\text{dove}\quad f_{1}(t)=7e^{t},\qquad f_{2}(t)=-5\sin(2t)$

cioè come somma di $f_{1}$ e $f_{2}$, dove le “nuove” forzanti sono “funzioni elementari” che si possono studiare col metodo di somiglianza. Infatti abbiamo:

• $f_{1}$ è di tipo esponenziale: dunque cerchiamo una soluzione particolare di tipo:
  

$y_{1}(t)=Ae^{t}$

Con $A$ da determinare. Si ha:

$y_{1}^{\prime}\left( t\right) =Ae^{t},\,y_{1}^{\prime\prime}\left( t\right) =Ae^{t}\,\Longrightarrow\,y_{1}^{\prime\prime}+y_{1}=2Ae^{t}$

imponendo l'identità

$y^{\prime\prime}+y^{\prime}=f_{1}$

si trova

$2Ae^{t}=7e^{t}\,\Longrightarrow\,A=\frac{7}{2}$

dunque la funzione

$y_{1}(t)=\frac{7}{2}e^{t}\quad$  è soluzione di  $\quad y^{\prime\prime }+y=f_{1}$

• $f_{2}$ è di tipo trigonometrico: si cerca soluzione particolare della forma
  

$y_{2}(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t)$

Con $A$ e $B$ da determinare. Calcolando le derivate

$\begin{align*} & y_{2}^{\prime}(t)=-2A\sin(2t)+2B\cos(2t),\qquad y_{2}^{\prime\prime}(t)=-4A\cos(2t)-4B\sin(2t)\\ & \,\Longrightarrow\,y_{2}^{\prime\prime}+y_{2}=-3A\cos(2t)-3B\sin(2t) \end{align*}$

e imponendo che valga l'identità $y^{\prime\prime}+y=-5\sin(2t)$ si trova:

$-3A\cos(2t)-3B\sin(2t)=-5\sin(2t)\,\Longrightarrow\,B=\frac{5}{3},\,A=0.$

Dunque:

$y_{2}(t)=\frac{5}{3}\sin(2t)\quad$  è soluzione di  $\quad y^{\prime\prime}+y=f_{2}.$

Grazie al principio di sovrapposizione la funzione

$y_{p}=\frac{7}{2}e^{t}+\frac{5}{3}\sin(2t)$

è soluzione particolare dell'equazione di partenza.