Circuiti elettrici LCR in corrente alternata

Circuiti elettrici lcr in corrente alternata

Lo studio delle oscillazioni forzate di un sistema meccanico si può applicare anche alla discussione dei circuiti elettrici LCR in corrente alternata, con analogie e qualche differenza.

Consideriamo un circuito elettrico avente un resistore di resistenza $R$, un condensatore di capacità $C$ e un induttore di induttanza $L$ disposti in serie (circuito LCR in serie), e supponiamo che il circuito sia alimentato da una corrente alternata, cioè avente tensione variabile:

$V\left( t\right) =V_{0}\sin\left( \phi t\right) \text{.}$

Le leggi dell'elettrodinamica danno l'equazione differenziale

$Li^{\prime}\left( t\right) +Ri\left( t\right) +\frac{q\left( t\right) }{C}=V_{0}\sin\left( \phi t\right) .$

Derivando l'equazione rispetto al tempo e usando la relazione che lega carica e corrente

$q^{\prime}\left( t\right) =i\left( t\right)$

otteniamo

$Li^{\prime\prime}\left( t\right) +Ri^{\prime}\left( t\right) +\frac{i\left( t\right) }{C}=V_{0}\phi\cos\left( \phi t\right)$

dividendo per $L$, otteniamo che l’intensità di corrente elettrica in un circuito LCR in serie in corrente alternata sinusoidale, soddisfa un'equazione delle oscillazioni smorzate e forzate:

$\begin{align*} i^{\prime\prime}\left( t\right) +\frac{R}{L}i^{\prime}\left( t\right) +\frac{1}{LC}i\left( t\right) & =\frac{V_{0}}{L}\phi\cos\left( \phi t\right) \end{align*}.$

Per studiare come varia l'intensità della corrente nel circuito, dobbiamo quindi risolvere l'equazione differenziale

$i^{\prime\prime}+2\delta i^{\prime}+\omega^{2}i=a\cos\left( \phi t\right)$

con

$\begin{align*} 2\delta & =\frac{R}{L}\\ \omega^{2} & =\frac{1}{LC}\\ a & =\frac{V_{0}}{L}\phi. \end{align*}$

Possiamo quindi trarre le nostre conclusioni sul comportamento del circuito in base alla forma generale delle soluzioni dell'oscillatore armonico, per questa scelta particolare dei parametri.

Il circuito in assenza di resistenza

È un caso ideale, in cui si suppone la resistenza così piccola da poter essere trascurata. Se $R=0$, l'equazione diventa

$i^{\prime\prime}+\omega^{2}i=a\cos\left( \phi t\right).$

Nel caso particolare in cui i parametri $L, C$ del circuito sono tali che la pulsazione propria $\omega$ coincida con quella della forzante $\phi$, cioè

$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\phi,$

si avrà un fenomeno “catastrofico” di risonanza, con l’ampiezza delle oscillazioni di intensità di corrente che cresce linearmente nel tempo, secondo la legge generale

$i(t)=A\cos(\omega t+\varphi)+\frac{a}{2\omega}t\sin(\omega t)$

dove $A$ e $\varphi$ dipendono dalle condizioni iniziali. Sostituendo i valori dei parametri si trova

$i\left( t\right) =A\cos\left( \frac{t}{\sqrt{LC}}+\varphi\right) +\frac{V_{0}}{2L}t\sin\left( \frac{t}{\sqrt{LC}}\right) .$

Se invece $\phi\neq\omega$ la corrente è somma di due componenti periodiche di pulsazioni diverse:

$i\left( t\right) =A\cos\left( \omega t+\varphi\right) +\frac{V_{0}}{L}\dfrac{\phi}{\omega^{2}-\phi^{2}}\cos(\phi t),$

la funzione $i\left( t\right)$ può risultare periodica oppure no, in ogni caso presenta oscillazioni di ampiezza limitata.

CIRCUITO REALE $R$>0

Anzitutto, indipendentemente dalle condizioni iniziali, il circuito avrà un regime permanente espresso dalla formula

$i\left( t\right) =\frac{a}{\sqrt{\left( \omega^{2}-\phi^{2}\right) ^{2}+4\delta^{2}\phi^{2}}}\cos\left( \phi t+\theta\right)$

con

$\theta=-\arctan\left( \frac{2\delta\phi}{\omega^{2}-\phi^{2}}\right) .$

Sostituendo $\delta,\omega,a$ come sopra si trova la corrente di regime:

$i\left( t\right) =\frac{V_{0}}{\sqrt{\left( \frac{1}{C\phi}-L\phi\right) ^{2}+R^{2}}}\cos\left( \phi t+\theta\right) ,$

cioè l'intensità di corrente, a regime, ha oscillazioni periodiche aventi la stessa pulsazione $\phi$ della forza elettromotrice, e uno sfasamento $\theta$ dato da

$\theta=-\arctan\left( \frac{R}{\frac{1}{C\phi}-L\phi}\right) .$

L’ampiezza delle oscillazioni è proporzionale a quella della forza elettromotrice secondo una costante $1/Z\left( \phi\right)$, dove $Z\left( \phi\right)$ è detta impedenza ed è definita da

$Z\left( \phi\right) =\sqrt{\left( \frac{1}{C\phi}-L\phi\right) ^{2}+R^{2} }.$

Ci chiediamo per quale valore della pulsazione $\phi$ della forzante è massima l'ampiezza delle oscillazioni della corrente. Riscriviamo l'ampiezza in questo modo

$\begin{align*} A & =\frac{V_{0}}{\sqrt{\left( \frac{1}{C\phi}-L\phi\right) ^{2}+R^{2}} }=\frac{V_{0}/R}{\sqrt{\left( \frac{L}{R\phi}\right) ^{2}\left( \frac {1}{LC}-\phi^{2}\right) ^{2}+1}}\\ & =\frac{V_{0}/R}{\sqrt{\left( \frac{\omega L}{R}\right) ^{2}\left( \frac{\omega^{2}-\phi^{2}}{\phi\omega}\right) ^{2}+1}}\equiv\frac{I_{0} }{\sqrt{Q_{0}^{2}\left( \frac{\omega^{2}-\phi^{2}}{\phi\omega}\right) ^{2}+1}} \end{align*}$

dove si è posto

$\begin{align*} I_{0} & =\frac{V_{0}}{R}\\ Q_{0} & =\frac{\omega L}{R} \text{ fattore di qualità del circuito.} \end{align*}$

Si vede facilmente che il valore massimo di $A$ si ha quando il denominatore (cioè l'impedenza) è minimo, cioè uguale a 1, il che si verifica per

$\phi_{max}=\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

ovvero quando la pulsazione $\phi$ della forzante coincide con la pulsazione propria del circuito (diversamente da quanto avveniva nelle oscillazioni meccaniche!).
In questo caso, detto di risonanza, il valore massimo di intensità della corrente è dunque

$A_{max}=I_{0}=\frac{V_{0}}{R}$

tanto più grande quanto più è piccola la resistenza. Osserviamo un tipico grafico della funzione $A\left( \phi\right)$

La curva, come già detto, ha un punto di massimo per $\phi_{max}=\omega$, ma la cosa interessante è anche quanto stretto (o largo) risulta il picco del grafico. Un picco molto stretto significa che l’ampiezza dell’oscillazione è molto grande solo per valori di $\phi$ molto vicini a $\omega$; se il picco fosse più largo, significherebbe che anche per valori di $\phi$ a una certa distanza da $\omega$ si ha comunque ampiezza grande. Il grafico è tanto più “appuntito” quanto più grande è il fattore di qualità del circuito, $Q_{0}=\frac{\omega L}{R}$

Questo fatto è importante nelle applicazioni dei circuiti come filtri, come ora spieghiamo.

Applicazioni di un circuito LCR risonante

Supponiamo che il termine forzante sia somma di tanti termini di pulsazioni diverse, per fissare le idee è sufficiente considerarne due:

$V\left( t\right) =V_{1}\sin\left( \phi_{1}t\right) +V_{2}\sin\left( \phi_{2}t\right) .$

Per linearità (principio di sovrapposizione), la soluzione avrà regime permanente dato da:

$i\left( t\right) =\frac{V_{1}}{Z\left( \phi_{1}\right) }\cos\left( \phi_{1}t+\theta_{1}\right) +\frac{V_{2}}{Z\left( \phi_{2}\right) } \cos\left( \phi_{2}t+\theta_{2}\right) .$

Supponiamo che la pulsazione $\phi_{1}$ sia uguale o molto vicina alla pulsazione propria $\omega$ del circuito, e invece la pulsazione $\phi_{2}$ sia significativamente discosta da $\omega$. Allora l'ampiezza $\frac{V_{1} }{Z\left( \phi_{1}\right) }$, corrispondente alla forzante di pulsazione $\phi_{1}$, potrà essere molto maggiore di $\frac{V_{2}}{Z\left( \phi _{2}\right) }$, il che significa che la corrente nel circuito oscillerà secondo la legge descritta (in prima approssimazione) da uno solo dei due termini forzanti, quello $V_{1}\sin\left( \phi_{1}t\right)$. Questo fenomeno è tanto più accentuato quanto più grande è il fattore di qualità del circuito. In altre parole, tra i vari termini forzanti, il circuito ha “esaltato” solo quelli le cui frequenze cadono in una certa banda attorno alla frequenza propria del circuito, mentre gli altri risultano trascurabili. Il circuito cioè agisce come un filtro, che lascia passare solo i segnali in una certa banda di frequenze, determinata dai parametri interni del circuito stesso.