INTRODUZIONE ALLE MATRICI


Una matrice è un insieme di elementi sui quali viene definito un doppio ordinamento per righe e per colonne. Una matrice viene indicata solitamente, in modo sintetico, mediante una lettera latina maiuscola (ad esempio A).


Una matrice di m righe e n colonne:


\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots& \cdots& a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots& \cdots& \cdots& \cdots \\ \cdots& \cdots& \cdots& \cdots& \cdots& \cdots \\ \cdots& \cdots& \cdots& \cdots& \cdots& \cdots \\ a_{ml}& \cdots& \cdots& \cdots&\cdots& a_{mn} \end{pmatrix}


si dice rettangolare di tipo (m, n). Una matrice con lo stesso numero n di righe e di colonne,


\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots& \cdots \\ \cdots& \cdots& \cdots& \cdots \\ a_{nl}& \cdots& \cdots& a_{nn} \end{pmatrix}


si dice quadrata di ordine n.

Gli elementi della matrice sono detti scalari e sono identificati da un doppio indice perché occupano una ben precisa riga e colonna: ad esempio, l'elemento a_{12} è l'elemento che occupa il posto relativo alla prima riga (1) e seconda colonna (2). Le matrici numeriche hanno gli elementi costituiti da numeri (reali) e sono quelle di cui trattiamo in questo corso.


Gli elementi di una matrice sono di posto pari se la somma della riga e della colonna corrispondenti è un numero pari; altrimenti sono elementi di posto dispari. Ad esempio l’elemento a_{13} che occupa la prima riga e la terza colonna è di posto pari (1 + 3 = 4 numero pari), mentre l’elemento a_{21} che occupa la seconda riga e la prima colonna è di posto dispari (2 + 1 = 3 numero dispari).


In una matrice quadrata, gli elementi di tipo a_{mm}, ossia a_{11},a_{22},a_{33}, ecc. costituiscono gli elementi della diagonale principale della matrice.

Due matrici si dicono uguali quando hanno, non solo lo stesso numero di righe e di colonne, ma possiedono gli stessi elementi nel medesimo posto.


Esempio: se A=\begin{pmatrix} 4& -1& 3 \\ 2& 0& 1 \end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix} 4& -1& 3 \\ 2& 0& 1 \end{pmatrix} allora A=B


Una matrice si dice nulla se possiede solo elementi nulli. Esistono matrici nulle di ogni forma, ossia con un numero qualsiasi di righe e di colonne.


Ad esempio le matrici \begin{pmatrix} 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0& 0 \\ 0& 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0& 0 \\ 0& 0 \\ 0& 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0 \end{pmatrix} sono tutte matrici nulle.


Ecco alcune matrici quadrate di particolare importanza (vediamo solo il caso di ordine tre).


Matrice identica: \begin{pmatrix} 1& 0& 0 \\ 0& 1& 0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}


Matrice diagonale: \begin{pmatrix} a& 0& 0 \\ 0& b& 0 \\ 0& 0& c \end{pmatrix}


Matrice simmetrica: \begin{pmatrix} a& d& e \\ d& b& f \\ e& f& c \end{pmatrix}


Matrice emisimmetrica: \begin{pmatrix} a& -d& -e \\ d& b& -f \\ e& f& c \end{pmatrix}


Matrice triangolare alta: \begin{pmatrix} a& d& e \\ 0& b& f \\ 0& 0& c \end{pmatrix}


Matrice triangolare bassa: \begin{pmatrix} a& 0& 0 \\ d& b& 0 \\ e& f& c \end{pmatrix}


Data una matrice M, si dice matrice trasposta della matrice M, indicata con M_T, la matrice ottenuta da M scambiando le righe con le colonne.


Esempio: se M=\begin{pmatrix} 4& -1& 3 \\ 2& 0& 1 \end{pmatrix}, allora M_T=\begin{pmatrix} 4& 2 \\ -1& 0 \\ 3& 1 \end{pmatrix}


La somma delle matrici A e B, aventi lo stesso numero di righe e di colonne, è una matrice C che ha lo stesso numero di righe e di colonne delle matrici A e B e come elementi la somma degli elementi delle matrici A e B che occupano il medesimo posto.


Esempio: la somma delle matrici A=\begin{pmatrix} 2& 4 \\ -1& 3 \\ -3& 1 \end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix} 5& -2 \\ 2& 0 \\ 6& 2 \end{pmatrix}


è la matrice C=\begin{pmatrix} 2+5& 4-2 \\ -1+2& 3+0 \\ -3+6& 1+2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 7& 2 \\ 1& 3 \\ 3& 3 \end{pmatrix}


La somma di matrici gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa.


Il prodotto di due matrici A e B righe per colonne è definito solo se il numero delle colonne della prima matrice del prodotto è uguale al numero delle righe della seconda matrice del prodotto. Ogni elemento della matrice prodotto si ottiene facendo la somma dei prodotti degli elementi della riga della prima matrice con gli elementi della colonna della seconda matrice corrispondenti all’elemento considerato.


Esempio: il prodotto delle matrici A=\begin{pmatrix} 1& -1& 3 \\ 2& -2& 4 \end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix} 5& -2 \\ 2& 0 \\ 3& -1 \end{pmatrix} è definito perché il numero delle colonne della matrice A (che è 3) è uguale al numero delle righe della matrice B (che è 3). La matrice prodotto righe per colonne delle matrici A e B possiede, quindi, due righe (= numero di righe della matrice A) e due colonne (= numero di colonne della matrice B) e gli elementi si calcolano nel seguente modo: l’elemento che occupa la prima riga e la prima colonna si ottiene facendo la somma del prodotti degli elementi della prima riga di A con gli elementi della prima colonna di B, e così via.


A\cdot B=\begin{pmatrix} 1\cdot5+(-1)\cdot2+3\cdot3& 1\cdot(-2)+(-1)\cdot0+3\cdot(-1) \\ 2\cdot5+(-2)\cdot2+4\cdot3& 2\cdot(-2)+(-2)\cdot0+4\cdot(-1) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 12& -5 \\ 18& -8 \end{pmatrix}


Il prodotto di matrici righe per colonne gode della proprietà associativa ma non gode della proprietà commutativa. Per il prodotto di matrici non vale la legge di annullamento del prodotto, ossia il prodotto di due matrici non nulle può avere come risultato una matrice nulla.


Il determinante di una matrice quadrata è un numero che si ottiene nel seguente modo: se la matrice è quadrata di ordine uno, A=(a_{11}) , allora det A =(a_{11}); se la matrice è quadrata di ordine due, B=\begin{pmatrix} b_{11}& b_{12} \\ b_{21}& b_{22} \end{pmatrix}, allora det B=b_{11}\cdot b_{22}-b_{12}\cdot b_{21} se la matrice è quadrata di ordine tre per calcolare il determinante vi sono diverse procedure tra le quali ricordiamo la Regola di Laplace: si sommano i prodotti degli elementi di una riga/colonna opportunamente scelta per i rispettivi complementi algebrici (ossia i determinanti delle sottomatrici ottenuti eliminando la riga e la colonna degli elementi della riga/colonna presa in considerazione, presi con il loro segno se i corrispondenti elementi sono di posto pari, cambiati di segno se i corrispondenti elementi sono di posto dispari)


Esempio: se considero la prima riga della matrice C=\begin{pmatrix} c_{11}& c_{12}& c_{13} \\ c_{21}& c_{22}& c_{23} \\ c_{31}& c_{32}& c_{33} \end{pmatrix},


allora detC=c_{11}\cdot \left( +det \begin{pmatrix} c_{22}& c_{23} \\ c_{32}& c_{33} \end{pmatrix}\right) +c_{12}\cdot \left( -det \begin{pmatrix} c_{21}& c_{23} \\ c_{31}& c_{33} \end{pmatrix}\right) +c_{13}\cdot \left( +det \begin{pmatrix} c_{21}& c_{22} \\ c_{31}& c_{32} \end{pmatrix}\right)


La caratteristica (o rango) di una matrice è l’ordine massimo della sottomatrice quadrata con determinante diverso da zero. Più precisamente, una matrice ha caratteristica uguale a n se esiste almeno una sottomatrice quadrata di ordine n con determinante diverso da zero e sono uguali a zero i determinanti di tutte le eventuali sottomatrici quadrate di ordine n+1.

Se la matrice è nulla, allora la caratteristica è zero.

Se la matrice è quadrata allora la caratteristica massima possibile è l’ordine della matrice.

Se la matrice è rettangolare alta, allora la caratteristica massima possibile è il numero della righe.

Se la matrice è rettangolare bassa, allora la caratteristica massima possibile è il numero delle colonne.