Introduzione ai vettori

INTRODUZIONE AI VETTORI

Un generico vettore $\textbf{v}$ può essere rappresentato attraverso le sue $n$ componenti $\textbf{v} = (v_1 \, v_2 \, \ldots \, v_n)$

Con questo tipo di rappresentazione, un vettore $\textbf{v}$ può essere considerato un caso particolare di matrice avente una sola riga (o una sola colonna) e per esso, quindi, valgono tutte le operazioni e le proprietà definite per il calcolo matriciale.

Nel caso $n = 2$, ossia nel caso di vettori a due componenti, i vettori possono essere identificati con i punti del piano cartesiano $R^2$; nel caso $n = 3$, ossia di vettori a tre componenti, i vettori possono essere identificati con i punti dello spazio $R^3$. In questi due casi particolari, il vettore ha anche una interpretazione geometrica di segmento orientato, dotato di una lunghezza (modulo), una direzione e un verso.

Il modulo di un vettore è dato dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle sue $n$ componenti:

$|v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \ldots + v_n^2}$

Un versore è un vettore di modulo unitario ossia di modulo uguale a uno.

Due vettori si dicono uguali quando hanno, non solo lo stesso numero di componenti, ma possiedono le stesse componenti nella medesima posizione.

Un vettore si dice nullo se possiede tutte le componenti nulle.

Dato un vettore riga $\textbf{a}$, si dice vettore trasposto del vettore $\textbf{a}$, e si indica con il simbolo $\textbf{a}_T$, il vettore colonna che ha le stesse componenti del vettore $\textbf{a}$.

La somma di due vettori $\textbf{a}$ e $\textbf{b}$, aventi lo stesso numero di componenti, è un vettore $\textbf{c}$ che ha lo stesso numero di componenti dei vettori $\textbf{a}$ e $\textbf{b}$ e per componenti la somma delle componenti dei vettori $\textbf{a}$ e $\textbf{b}$, che occupano la medesima posizione. Ad esempio, la somma dei vettori $\textbf{a} = (1 \, 2 \, 3)$ e $\textbf{b}=(4 \, 5 \, 6)$ è il vettore $\textbf{c} = (1+4 \quad, 2+5 \quad, 3+6)=(5 \quad, 7 \quad, 9)$. La somma di vettori gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa.

Il prodotto di un vettore $\textbf{a}$ per uno scalare $\textbf{k}$ è un vettore che ha per componenti le componenti del vettore $\textbf{a}$ moltiplicate per $k$, la stessa direzione del vettore $\textbf{a}$ e lo stesso verso del vettore $\textbf{a}$ se $k > 0$, verso contrario se $k < 0$.

Esempio: se $\textbf{a} = (1, \ 2, \ 3)$, allora $3 \cdot \textbf{a} = (3\cdot 1, \quad 3\cdot 2, \quad 3\cdot 3) = (3, \ 6, \ 9)$

Dati $n$ vettori $\textbf{v}_1$, $\textbf{v}_2$, …, $\textbf{v}_n$ e $n$ scalari $k_1$, $k_2$, …, $k_n$, si dice combinazione lineare degli $\textbf{n}$ vettori mediante gli $\textbf{n}$ scalari il vettore $\textbf{v}$ somma degli $n$ prodotti di vettori per scalari:

$\textbf{v} = k_1 \cdot \textbf{v}_1 + k_2 \cdot \textbf{v}_2 + \ldots + k_n \cdot \textbf{v}_n$

Dati $n$ vettori $\textbf{v}_1$, $\textbf{v}_2$, …, $\textbf{v}_n$ e $n$ scalari $k_1$, $k_2$, …, $k_n$, gli $n$ vettori si dicono linearmente indipendenti quando la combinazione lineare $k_1 \cdot \textbf{v}_1 + k_2 \cdot \textbf{v}_2 + \ldots + k_n \cdot \textbf{v}_n$ è il vettore nullo se e solo se $k_1 = k_2 = \ldots = k_n =0$, ossia tutti gli scalari sono nulli. In caso contrario, gli $n$ vettori si dicono linearmente dipendenti.

Il prodotto scalare $\textbf{a}\cdot\textbf{b}$ dei vettori $\textbf{a}$ e $\textbf{b}$ è definito solo se i due vettori hanno lo stesso numero di componenti ed è uguale ad uno scalare:

$s = a_1\ b_1 + a_2\ b_2 + \ldots + a_n\ b_n \in R$

Ad esempio, il prodotto scalare dei vettori $\textbf{a} = (1, \ 2, \ 3)$ e $\textbf{b}=(4, \ 5, \ 6)$ è $\textbf{a} \cdot \textbf{b}= 1\cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3\cdot 6 = 32$. Il prodotto scalare gode della proprietà commutativa.

Il prodotto vettoriale $\textbf{a} \wedge \textbf{b}$ tra due vettori $\textbf{a} = (a_1, \ a_2, \ a_3)$ e $\textbf{b}=(b_1, \ b_2, \ b_3)$ di tre componenti è un vettore di tre componenti così definito:

$\textbf{a} \wedge \textbf{b} = (a_2\ b_3-b_2\ a_3, \ b_1\ a_3\ -a_1\ b_3, \ a_1\ b_2\ -b_1\ a_2)$

Ad esempio, il prodotto vettoriale $\textbf{a} \wedge \textbf{b}$ dei vettori $\textbf{a} = (1, \ 2, \ 3)$ e $\textbf{b}=(4, \ 5, \ 6)$ è uguale a $(-3, \ 6, \ -3)$
Il prodotto vettoriale $\textbf{a} \wedge \textbf{b}$ non gode della proprietà commutativa.