Introduzione ai sistemi crameriani


Un sistema lineare si dice crameriano se la matrice dei coefficienti è quadrata con determinante diverso da zero.
Ricordiamo che dato un sistema lineare, per esempio di due equazioni in due incognite,

\begin{cases} m_1x+n_1y=b_1\\ m_2x+n_2y=b_2 \end{cases}


la matrice dei coefficienti è:


M= \begin{bmatrix} m_1&n_1\\ m_2&n_2 \end{bmatrix}


dove sulla prima riga si trovano i coefficienti di x e y della prima equazione e sulla seconda riga si trovano i coefficienti di x e y della seconda equazione.
Se il sistema è crameriano la matrice M deve essere quadrata e deve valere \det M\not=0.

Risolvere un sistema crameriano significa determinare quell’unica coppia ordinata \boldsymbol{(x; y)} dei valori delle variabili x e y che soddisfano tutte le equazioni del sistema.

La soluzione del sistema crameriano si trova con la Regola di Cramer.

Secondo questa regola, i valori della coppia (x; y) si determinano mediante i seguenti due rapporti tra i determinanti delle matrici M, M_1 e M_2,

x= \frac{\det M_1}{\det M} \quad\quad\quad y= \frac{\det M_2}{\det M}

con \quad M= \begin{bmatrix} m_1&n_1\\ m_2&n_2 \end{bmatrix} \quad M_1= \begin{bmatrix} b_1&n_1\\ b_2&n_2 \end{bmatrix} \quad M_2= \begin{bmatrix} m_1&b_1\\ m_2&b_2 \end{bmatrix}