Introduzione ai sistemi non crameriani


Un sistema lineare con la matrice dei coefficienti quadrata con determinante uguale a zero oppure con matrice dei coefficienti rettangolare è un sistema non crameriano.

Ricordiamo che dato un sistema lineare, per esempio di due equazioni in due incognite, \left\{ {\begin{array}{l}{{m_1}x + {n_1}y = {b_1}}\\{{m_1}x + {n_2}y = {b_2}}\end{array}} \right. la matrice dei coefficienti del sistema è M = \left( {\begin{array}{cc}{{m_1}}&{{n_1}}\\{{m_2}}&{{n_2}}\end{array}} \right) dove sulla prima riga si trovano i coefficienti di x e y della prima equazione e sulla seconda riga si trovano i coefficienti di x e y della seconda equazione.

E la matrice completa del sistema è M|b = \left( {\begin{array}{ccc}{{m_1}}&{{n_1}}&{{b_1}}\\{{m_2}}&{{n_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right) matrice ottenuta accostando alla matrice dei coefficienti M la colonna dei termini noti \left( {\begin{array}{c}{{b_1}}\\{{b_2}}\end{array}} \right). Un sistema non crameriano è risolubile se solo se la matrice dei coefficienti M e la matrice completa M|b hanno la stessa caratteristica.

Si possono riassumere in sintesi i seguenti casi possibili, indicando con

n = numero incognite; r = caratteristica della matrice M.

1) Caso matrice dei coefficienti quadrata con determinante uguale a zero.

\left\{ {\begin{array}{l}{{m_1}x + {n_1}y = {b_1}}\\{{m_1}x + {n_2}y = {b_2}}\end{array}} \right.

Se \text{car} (M) = \text{car} (M|b) \Rightarrow il sistema possiede {\infty ^{n - r}} soluzioni.

Se \text{car} (M) \neq \text{car} (M|b) \Rightarrow il sistema non è risolubile.

2) Caso matrice dei coefficienti rettangolare bassa.

\left\{ {\begin{array}{l}{{m_1}x + {n_1}y + {s_1}z = {b_1}}\\{{m_1}x + {n_2}y + {s_2}z = {b_2}}\end{array}} \right.

Se \text{car} (M) = \text{car} (M|b) \Rightarrow il sistema possiede {\infty ^{n - r}} soluzioni.

Se \text{car} (M) \neq \text{car} (M|b) \Rightarrow il sistema non è risolubile.

3) Caso matrice dei coefficienti rettangolare alta.

\left\{ {\begin{array}{l}{{m_1}x + {n_1}y = {b_1}}\\{{m_2}x + {n_2}y = {b_2}}\\{{m_3}x + {n_3} = {b_3}}\end{array}} \right.

Se \text{car} (M) = \text{car} (M|b) = n \Rightarrow il sistema possiede un’unica soluzione.

Se \text{car} (M) = \text{car} (M|b) \neq n \Rightarrow il sistema possiede {\infty ^{n - r}} soluzioni.

Se \text{car} (M) \neq \text{car} (M|b) \Rightarrow il sistema non è risolubile.