SISTEMI OMOGENEI

Un sistema lineare si dice omogeneo se il vettore dei termini noti è il vettore nullo.

Un sistema lineare omogeneo, per esempio di due equazioni in due incognite,

\left\{ {\begin{array}{l}{{m_1}x + {n_1}y = 0}\\{{m_1}x + {n_2}y = 0}\end{array}} \right.

è sempre risolubile, perché possiede sempre come soluzione almeno il vettore nullo, ossia il vettore che ha tutte le componenti uguali a zero. Tale soluzione è detta anche soluzione banale.

Per verificare che il sistema non possieda altre soluzioni oltre a quella banale, occorre calcolare il determinante della matrice dei coefficienti

 M = \left( {\begin{array}{l}{{m_1}}&{{n_1}}\\{{m_2}}&{{n_2}}\end{array}} \right)

dove sulla prima riga si trovano i coefficienti di x e y della prima equazione e sulla seconda riga si trovano i coefficienti di x e y della seconda equazione.

Si possono riassumere in sintesi i seguenti casi possibili di sistemi omogenei indicando

n = numero incognite; r = caratteristica della matrice M.

1) Nel caso di sistemi lineari omogenei con matrice dei coefficienti quadrata

\left\{ {\begin{array}{l}{{m_1}x + {n_1}y = 0}\\{{m_1}x + {n_2}y = 0}\end{array}} \right.

si deve calcolare il determinante della matrice dei coefficienti M.

Se \det (M) = 0 \Rightarrow il sistema omogeneo possiede {\infty ^{n - r}} soluzioni oltre alla soluzione banale.

Se \det (M) \neq 0 \Rightarrow il sistema omogeneo possiede solo la soluzione banale.

2) Nel caso di sistemi lineari omogenei con matrice dei coefficienti rettangolare

\left\{ {\begin{array}{l}{{m_1}x + {n_1}y + {s_1}z = 0}\\{{m_2}x + {n_2}y + {s_2}z = 0}\end{array}} \right. \qquad \left\{ {\begin{array}{l}{{m_1}x + {n_1}y = 0}\\{{m_2}x + {n_2}y = 0}\\{{m_3}x + {n_3} = 0}\end{array}} \right.

si deve determinare la caratteristica della matrice dei coefficienti M.

Se \text{car}(M) < n \Rightarrow il sistema omogeneo possiede {\infty^{n - r}} soluzioni oltre alla soluzione banale.

Se \text{car}(M) = n \Rightarrow il sistema omogeneo possiede solo la soluzione banale.