Esercitazione per risolvere il problema dell'asta ideale

Esercitazione per risolvere il problema dell'asta ideale

Si consideri il sistema lineare che è stato ottenuto nello studio della configurazione statica nel precedente video, un sistema lineare di tre equazioni nelle tre incognite ${\phi _x}$, ${\phi _y}$ e $\psi$, che sono le tre reazioni vincolari.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\phi _x}}&{}&{}&{ = 0}\\{}&{{\phi _y}}&{ + \psi }&{ = p }\\{}&{}&\psi &{ = \frac{1}{2}p }\end{array}} \right.$

La lettera $p$ indica il peso dell’asta ed è una costante, non un’incognita.

La matrice dei coefficienti del sistema è la matrice quadrata, di ordine tre

$M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}} \right)$

Si osserva, anche, che, poiché $\det(M) = 1$, allora è soddisfatta la condizione $\det(M) \neq 0$.

Quindi, il sistema è crameriano e ammette un’unica soluzione.

Risolvendo il sistema si ottengono, per le tre incognite del sistema, i valori ${\phi _x} = 0$, ${\phi _y} = \frac{1}{2}p$, $\psi = \frac{1}{2}p$.

Pertanto, la soluzione del sistema risulta essere il vettore a tre componenti $( 0,\frac{1}{2}p, \frac{1}{2}p )$.