Posizione reciproca di due piani

Dati due piani {\pi _1}e {\pi _2}di equazioni
{\pi _1} \qquad {a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0 {\pi _2} \qquad {a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0
possono essere tra loro paralleli, coincidenti oppure incidenti se soddisfano le seguenti condizioni.

  1. Paralleli se \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \ne \frac{d_1}{d_2}
  2. Coincidenti se \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{d_1}{d_2}
  3. Incidenti se vale almeno una delle seguenti disuguaglianze:

    \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} \qquad \frac{a_1}{a_2}\ne \frac{c_1}{c_2} \qquad \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}


In questo terzo caso, i due piani sono incidenti in una retta, ossia hanno in comune i punti di una retta che può essere espressa mediante il sistema lineare di due equazioni in tre incognite:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0}\\{{a_1}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0}\end{array}} \right.