Esercitazione sul pannello

ESERCITAZIONE SUL PANNELLO

Dati i punti di coordinate $A\equiv\left( {\begin{array}{l}1&0&0\end{array}} \right)$, $B\equiv\left( {\begin{array}{l}0&2&0\end{array}} \right)$, $C\equiv\left( {\begin{array}{l}0&0&2\end{array}} \right)$, l’equazione del piano individuato dai punti $A$, $B$, $C$ è dato dall’equazione che si ottiene dal determinante seguente:

$\begin{vmatrix} x-1 & y & z\\ -1 & 2 & 0\\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 0$

Sviluppando tale determinante si ottiene l’equazione

$4(x-1)-y(-2)+2z=0$

da cui

$4x-4+2y+2z=0$

e poi $4x+2y+2z=4$

Si ottiene il piano di equazione

$2x+y+z=2$

che chiamiamo $\pi$.

Per determinare le equazioni della retta passante per i punti $H\equiv\left( {\begin{array}{l}0&0&1\end{array}} \right)$ e $K\equiv\left( {\begin{array}{l}2&2&0\end{array}} \right)$, si considerano le equazioni parametriche della retta passante per il punto H e con direzione il vettore $(K – H)$, ossia $P = H + t (K – H)$, che esplicitate diventano:

$\left\{ {\begin{array}{l}{x = 2t}\\{y = 2t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.$

Chiamiamo la retta con la lettera $r$.

Per determinare il punto di intersezione $F$ tra il piano $\pi$ e la retta $r$, si sostituiscono le equazioni parametriche della retta (ossia si sostituiscono $x$ con $2t$, $y$ con $2t$ e $z$ con $(1-t)$ nell’equazione del piano, ottenendo:

$2\left( {2t} \right) + \left( {2t} \right) + \left( {1 - t} \right) = 2$

e si ottiene $t = \frac{1}{5}$.

Sostituendo il valore di $t$ trovato nelle equazioni della retta, si ottiene il punto

$F\equiv\left( {\begin{array}{l}{\frac{2}{5}}&{\frac{2}{5}}&{\frac{4}{5}}\end{array}} \right)$

Tuttavia, osserviamo che il nostro lavoro non è terminato, perché vogliamo effettuare il foro quando il pannello è per terra. Occorre determinare l’equazione del piano contenente i punti $F$, $A$ e le direzioni rappresentate dai vettori $(B – A)$ e $(C – A)$, ossia le equazioni parametriche del piano richiesto $P = A + u (B – A)+ v (C –A)$ che esplicitate diventano

$\left\{ {\begin{array}{l}{x = 1 - u - v}\\{y = 2u}\\{z = 2v}\end{array}} \right.$

Imponendo il passaggio del piano per il punto $F$:

$\left\{ {\begin{array}{l}{x = 1 - u - v = \frac{2}{5}}\\{y = 2u = \frac{2}{5}}\\{z = 2v = \frac{4}{5}}\end{array}} \right.$

si ottiene $u = \frac{1}{5}$ e $v = \frac{2}{5}$.

Si ottiene, quindi, il punto $F' = A + \frac{1}{5} (B – A) + \frac{2}{5} (C –A)$. Questo è il punto in cui possiamo effettuare il foro quando il pannello è appoggiato a terra.